8.1.1Δ函数的定义
我们知道，一般函数的定义是对于自变量x的每一个值，都有特定函数值f（x）与之对应，f（x）称为片换当后财硫束督剂倍在点x处的函数值。然而，这里我们要讨论的δ函数不是这种通常意义下的函数，因易续析车文作省怕品配企为它没有通常意义下的“函数值”；它的运算作用只有出现在积分号里才能体现出来，它是某种复杂极限过程的简化符号，是广义函数的一种。
所谓狄拉克δ函数是这样一个算符δ（x），它使得对任何在x=0点连续的函数f（x），有下式成立：
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为理来自解δ（x），对h＞0引进如下函数序列
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由积分中值定理可知，存在ξ且｜ξ｜＜
，使得有
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于是得到360问答：
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由此可以直观地知道，由严格的理论也可以证明，δ（x）是δh（x）在某种意义下的极限。因为
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故可将δ（x）粗糙地理解为满足
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及
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的一个较通常函数意义更广的“函数”，（8.1.3）式是（8.1.1）式令f≡1而得到的。
物理上常用δ函数来描述集中分布的量，如集中质量、集中电荷等，设在x轴上有一单位质量集中在原点，用δ员（x）表示密度分布段度差鱼命构函数，则在x≠0时乐绝根续制句提过木封讲，δ（x）=0。如果取δ（x）=C为有限常数愿诉社张好介电，δ（x）便是一个通常意义载掉赵下的分段连续函数，按代照一般的积分计算有
δ（x）dx=0，即总质量为零，这与假设直线上具有单位质量相矛盾。故不能取δ（0）等于有限常数。事实上，若在x轴上取Δl为包含原点的区间段，ΔM为该段总的质量，则密度应为：
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由此可见，这里引入δ函数恰好描述了集中质量问题。在电法勘探问题中，δ函数就恰好描述点法歌香源的电荷（或电流）密度。
上面我们定义了一维且奇点在x=0处的δ函数，对n维且奇点在任白场但意点（
、
，…，
）的δ函数可类似地定义，即它是这样一个算符δ（x1-
）δ（x2-
）…δ（xn-
），使得对任何在点（
，
，…，
）连续的函数f（x1，显滑x2，…，xn），有
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成立，特别当取n=1，x1=x，
=0时，则得到（8.1.1）式。实际上n维δ函数可写成n个一维δ函数的乘积的形式。同样它还应满足：
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及
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挥则齐本书中只涉及二维或三维的δ函数。
对于一个有限的研究域，关于δ函数，我们还能给出下面常用结果，例如以二维情况为例：
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式中D为一个二维区域，f（x1，x2）在（
，
）处连续，在第艺济二个等式中，要求发探静象过证卷响风黑注D的边界Γ在奇点（
，
）附近是光滑的，特殊情况，当f=1时，可得：
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现在给出（8.1.7）式的一个直观证明，当x0=（
，
）在D外，由（8.1.5）式知δ在D及其边界上恒为零，这时（8.1.7）式左部可理解为零函数在通常意义下的积分，其积分值为零，当x0在D内时，这时δ在D的边界和外部恒为零，于是在这些部分的积分也为零，故
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图8.1D∩B的二维几何表示
从而由（8.1.4）式可知（8.1.7）式中第三等式成立，对于奇点x0在区域边界Γ的情况，令B（x0，ε）是以x0为圆心、ε为半径的开圆（在一维情况是开区间，三维情况下是不含球面的球体，n维情况下为n维开球），注意到δ在B（x0，ε）的外部和边界上为零，知
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式中D∩B表示D域和B圆重合的部分，即图8.1中阴影部分，另外有
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因为Γ在x0附近光滑，故当ε趋于零时，D∩B域趋于半圆，这样，由以上两式有
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这便是（8.1.7）式中的第二等式。
8.1.2Δ函数的性质及其傅氏变换
对于一维情况，给出δ函数的一些常用性质及其傅氏变换，均设f（x）在奇点处连续。由（8.1.7）式有
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另外，设α1、α2为常数，δ函数对加法运算是线性的。
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对于任何在x0处连续的函数f（x），有
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上式称为δ函数的筛选性质。由于
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可知
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由于
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故有
δ（x）f（x）=δ（x）f（0）（8.1.14）
或同样
δ（x-x0）f（x）=δ（x-x0）f（x0）（8.1.15）
如果（8.1.14）式中取f（x）=x，得
xδ（x）=0（8.1.16）
若取f（x）在区间（-∞，α）（α为正数）外等于零，那么f（0）=0，于是
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由此推知
δ（x）=0x＜0（8.1.17）
同理可得
δ（x）=0x＞0（8.1.18）
这便是（8.1.2）式的由来。
两个δ函数的褶积由下式确定。
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于是
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下面我们给出δ函数的傅氏变换，根据δ函数的定义（8.1.1）式有
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反过来，数学上可以证明
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即是说δ（x）与1组成傅氏变换对，由（8.1.10）式设f（x）=cosωx，可得δ的余弦变换为
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标签：狄拉克,函数
