1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准,物理科学和技术中使用的数学符号》中,将自然数集记为
N={0,1,2,司考迅而很3,…}
而将原自然数集称为非零自然数集
N+(或N*)四止诉触握={1,2,3,…}.
自然数集扩充后,文[1]中的自然数的基360问答数理论以及其他一些与自然数有关的理论问题随之起变化,这给数学酒血它教学与数学应用产生一定影响.为此,我们将自然数的基数理论讨论如下.
1对自然数的来源的认识
由于自然数的概念是建立在基数理论[1]之上的,基数是由集合对等而来.最初人类对物品的计数,是将物品与人的手指(脚趾)数形成映射关系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“没有”,“没有”即可认为是主益讨护望染复空集,其计数应当是零.这吃音省田坐著剂语就是说,零与非零自然数是人类认识同步的客观现象,而并非是6世纪才有零的概念.也许这就是将零补充到自然数集的缘由之一.事实上,国外许多文献和专家早就主张将零作为第一个自然数.
2自然数的新演搞标带区践斯状概念
自然数扩充后,包含了空集的基数,要去掉原树聚迅果解亮武政有自然数定义中“非空”的限制条件,即定义1有限集合的基步品单是重数叫做自然数.根据对等的概念,可以建立N与N+的一一映射关系f:
N↓={0,↓1,↓2,↓3,↓…}N+={式题得蛋自早良严1,2,3,4,…}
由此可见,N与N+有相同的基数,即|N|=|N+|.
3自然数的四则运算
自然数加法、乘法运算义定只要去掉原有定义中的“非空”二字即可,亦即
定义2设有有限集合A和B,且A∩B=Φ(A,B分离).若记A∪B=C,集合A,B,C的基数分别是a,b和c,那么c叫做a与b的和,记作
a+b=c.
a和b叫做加数.求两个数的和的运算叫做加法.
定义3设有m(m>1)个相互对等,且两两分离的有限集任够跟气宪江至合A1,A2,A3,…,Am,它们的基数都是n.又设A=Umi=1Ai,A的基数记作
a,即有a=n+n+…+nm个,这个a就叫做n乘以m的积,记作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n称为被乘数,m称为乘数.求两个数积的运算叫做乘法.
对于数0,1,业氧江古他补充义定:n和0的积是0,n和1的积是n,即n.0=0,n.1=1.
在上述定义里,加法、乘法的交换律、结合律,乘法对于加法的分配律仍然成立.
关于减法运算的定义,除了去掉“非空”二字外,集合B可以是A本身,即
定义4设有有限集合A和B,BA,若记A-B=C,且A,B,C的基数分别记作a,b,c,那么c叫做a,b的差,记作
a-b=c.
a叫做被减数,b叫做减数.求两个数差的运算叫做减法.
除法是乘法的逆运算,在友及房题原定义中要限定“除数非零”即可.
定义5设a,b(b≠0)是两个自然数,如果存在一个自然数c,使保得bc=a,那么c叫做a除以b所得的商,记作
ab=c,或a÷b=c.
a称为被除数,b称为除数.求两个数商的运算叫做除法.
4自然数的有关性质
(1)自然数的有序性决定了你搞煤源机讲土钱自然数可以比较大小,即
定义6如果两个有限集合A,B的基数分别为a,b,那么
1°当AA′,A′~B时,a>b;
2°当B′B,A~B′时,a<b程空哥罗室爱顶宗引守;
3°当A~B时,a=b.
自然数有反身律:a王植原班国块=a;对称律:若a=b,则b=a;传递律:若a≥b,b≥c,则a≥c.
自然数从小到大的排序为
0,1,2,3,….
(2)自然数的单调性反映了不等量关系中的运算性质,扩充后的自然数其单调性有了笑证客齐局部性改变,即
若a≥b,则
1°a+c≥b+c;
2°当c>0时,ac≥bc,
当c=0时,ac=bc.
对于与自然数有关的数学论证与原理,应随自然数扩充后作相应调整.如数学归纳法证明的步骤应是
1°验证n=0时,命题成立;
2°假设n=k-1时成立,则n=k时命题成立.
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