已知数列{an}的校记跟查除由担煤今前n项和为Sn，且满足an+Sn=2．（1）求数列{来自an}的通项公式书告商响断歌皇妒；（2）求证数列{an}360问答中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；（3）若从数列{an}中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S满足，这样的等比数列有多少个？

问题补充说明：试题难度：难度：偏难 试题类型：解答题 试题内容：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+Sn=2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证数列{an}中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；（3）若从数列{an}中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S满足，这样的等比数列有多少个？

试题答案：解：（1）当n=1时，a1+S1=2a1=2，则a1=1．

又an+Sn=2，

∴an+1+Sn将从宁领如测班并+1=2，

两式相减得，

∴{an}是首项艺困也环写没烧器为1，公比为的等汽师比数列，

∴

（2）反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap+1，aq+京程认程肉支气1，ar+1（p＜q＜r）

则，

∴22r﹣q毛者降势又妒困=2r﹣p+1（*）

又∵p＜q＜r

∴r﹣q，r﹣p∈N*

∴（*）式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立

∴假设不成立原命题得证．

（3）设抽取的等比数列首项为，公比为，项数为k，

且满足m，n，k∈N，m≥0，n≥1，k≥1，

则

又∵

∴

整理得：①

∵n≥1

∴2m﹣n≤2m﹣1．

∴

∴m≤4

∵

∴

∴m≥4

∴m=4将m=4代入①式，整理得

∴n≤4

经验证得n=1，铁露迅耐川缩践2不满足题意，n=3，4满足题意

标签：数列,Sn,等比数列