二阶微分方程的通解公式是什么?

解：齐次方程y''-2y'-3y=0的特征方程是λ-2λ-3=杆改永略年奏垂误来0，解得：

λ1=3，λ2=-1。

所以齐次方程得通解是：y=ae^(3x)+b否e^(-x)。

只需求其特解y*。

根据右边4e^x，可设y*=ke^x，代入左边得：ke^x-2ke^x-3ke^x=4e^x。

解得k=-1。

特征根方程细鱼都纪乡r^2+r-2=0r=2，-1y=Ae^(2x)+Be^(-x)。

然后找特解待定系数，因为右端项为x^2猜测：

x^2-2ax^2+(2a-2b)x+2a+b-2c=x^2-2a=12a-2b=02a+b-2c=0a=-1/2。

可降阶方程

在有些情况下，可以通过适责念百自万物当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方帮程排击挥记生穿上程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程。

y''=f(x)型

方程特点：右端仅含有自变量x，逐次积分即可得到领宣零胡仅亲空通解，对二阶以上的微分方程也可类似求解。

例1求方程y''=e2x-cosx的通解。

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