最小角定理也叫三余弦定理。
设A为面上一点,过A同快早带草欢明未罪印的斜线AO在面上的射影为AB,AC为面上的一条直线,那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为:
cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB(∠BAC来自和∠OAB只能是锐角)
通俗点说就是,平面α的一条斜线l与α所成角为θ1,α内的直线m与l在α上的射影l‘夹角为θ2,l与m所成角为θ,则cosθ=cosθ1*cosθ2.又叫最小角定理或爪子定理,可以用于求平面斜信减广异线与平面内直线成的最小角.
已知OA是面α的一条斜线,OB⊥α。在α内过B作BC⊥AC,垂足为C,连接360问答OC。OA和α所成角∠OAB=θ1,AC和AB所成角∠BAC=θ2,OA和AC期曲味五所成角∠OAC=θ。求证cosθ=cosθ1*cosθ2
证明:
∵OB⊥α
∴BC是OC在α上的射影
∵防站合令束初BC⊥AC
∴OC⊥AC(三垂线定理)
由三角函数的定提士保命价粉义可知
cosθ1=AB/OA,cosθ2=AC/AB,co哪怕米sθ=AC/OA
意是内洲优察谁张∴cosθ1*cosθ2=AB/OA*AC/AB=AC/OA=cos居文个到井汽县θ
或利用三面角余弦定理来证明。
在三面角A-OBC中,设二面角O-AB-C为∠AB,易证∠AB=90°
由三面角余弦定理得
cos∠OAC=cos∠OAB*cos∠CAB+sin∠OAB*sin∠CAB*cos∠AB
即cosθ=cosθ1*cosθ2+sinθ1*sinθ2*cos90°=co序施日先附歌未列集温sθ1*cosθ2
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