问题补充说明：希尔伯特的23个问题
(1)康托的连续统基数问题
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，桥居美国的奥地利数学家哥德尔证明连续统假设和ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩(P·Cohen)证明连续统假设和ZF公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能用世所公认的ZF公理证明其对错。希尔伯特第一问题在这一意义上已获解决。
(2)算术公理的无矛盾性
欧氏几何的无矛盾性可归结为算术公里的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。通设球丰续言内林最妒剧歌德尔在1931年发表不完备性定理加以否定。1936年根茨(G·Gentzen,1909〜1945)在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的无矛盾性。
(3)两个等底等高四面体的体积相等问题
问题的意思是:存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。德恩证明确实存在着这样的两个四面体(1900)。
(4)两点间以直线为距离最短线问题
次问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需加以某些限制条件。1973年苏联数学家波格列洛夫(Poglelov)宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
(5)一个连续变换群的李氏概念，定来自义这个群的函数不假定是可微的
这个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部360问答欧氏群都一定是李群?中间经过冯·诺伊曼(1933对紧群情形)、邦见半怕略德里雅金(Pontrja-qin)(交换群情形，1939)、歇瓦莱(Chevalley)(1941对可解群情形)的努力，于1952年，由来刑测值来叶免称己商白格利森(Gleason)、蒙哥马利(Montgomery)、齐宾(Zip再解银温技六pin)共同解决了，得到了完全肯定的结果。
(6)物间安被树伟干整缺他理学的公理化
希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率论和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫(Ko陈沙齐义校lmogoroff)将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理和象酸冷油成教束散学是否能全盘公理化首字，很多人表示怀疑。
(7)某些数的超越性
问题要求证明:若是代数数，是无理数的代数数，则一定是超罪越数或至少是无理数(例如和)。1934年苏联数学家盖尔封特(A.O.Gelfond)证明这是对的考房统排。1935年，德国数学家施把临你艺回奈德(Schneider)也独立地解决了这一问题。
(班怕概厂只8)素数问题
素数是一个古老静的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼(Riem放运直事曾ann)猜想、歌德巴赫(Goldbach)猜想以示及孪生素数问题。
黎曼猜想至今未能解决。歌德巴赫猜想亦未最终解决，中国陈景润取得领先地位。目前孪生素数的最佳结雷被架引果也属于陈景润。
(9)在任意数域中证明最一般的互反律
该问题已由德国数学家阿廷(E·Artin)给予基本解决(1927)，但至今仍在继续发展类域理论。
(10)丢番图(Diophantus)方程的可解性
求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图(约210〜290，古希腊数学家)方程可解。希尔伯特问，是否能用一种有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性?1950年前后，美国数学家戴维斯(Davis)、普特南(Putnam)、罗宾逊(Robinson)等取得关键性突破，1970年，苏联的马蒂塞维奇(Matijasevic)最终证明:第10问题的答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切关系。
(11)任意代数数系数的二次型
德国人海塞(Hasse)和西格尔(Siegel)在20年代获重要结果。60年代，法国的魏依(A·Weil)取得了新进展。
(12)将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去
这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。
(13)用两变量函数解一般七次方程的不可能性
七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c;x=x(a,b,c)，这一函数能否用两变量函数表示出来?
这一问题已接近解决。苏联数学家阿诺尔德(V·I·Arnold)解决了连续函数的情形(1957)。1964年维土斯金(Vituskin)又推广到连续可微函数情形。如果求解析函数，则问题尚未解决。
(14)某些完备函数系的有限性的证明
这和代数不变量问题有关。日本数学家永田雅宜给出了漂亮的反例(1959)。
(15)舒伯特(Schubert)计数演算的严格基础
一个典型问题是:在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。
(16)代数曲线和代数曲面的拓扑问题
这个问题分为两部分。前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。苏联的彼德罗夫斯基(Petrovskiĭ)院士曾证时极限环的个数不超过3。1979年，中国的史松龄以及王明淑分别举出有四个极限环的反例。
(17)半正定形式的平方和表示
一个实系数n元多项式对一切数组(x1,…,xn)都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式?1927年，阿廷证明这是对的。
(18)用全等多面体构造空间
德国数学家比勃巴赫(Bieberbach)(1910)、莱因哈特(Reinhardt)(1928)作出部分解决。
(19)正则变分问题的解是否一定解析
这一问题的研究很少。伯恩斯坦(S·Bernstein)和彼德罗夫斯基等得出了一些结果。
(20)一般边值问题
这一问题得进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。
(21)具有指定单值群的线性微分方程解的存在性证明
已由希尔伯特本人(1905)和勒尔(H·Röhrl)(1957)、德利涅(P·Déligne)(1970)等人所解决。
(22)由自守函数构成的解析函数的单值化
它涉及艰深的黎曼曲面论，1907年克伯(P·Koebe)获重要突破，其他方面尚未解决。
(23)变分法的进一步发展
这不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪变分法有了长足发展。
从上面的简单介绍不难看出，希尔伯特提出的问题是相当艰深的，不少一般人简直连题目也看不懂。正因为艰深，才吸引有志之士去作巨大的努力。但它又不是不可接近的，因而提供了使人们终有所获的科学猎场。80年来，人们始终注视着希而伯特问题的研究，绝不是偶然的。当然，预测不可能全部符合后来的发展，20世纪数学发展的广度和深度都远远超出本世纪初年的预料，象代数拓扑、抽象代数、泛函分析、多复变量函数等许多理论学科都未列入23问题，更不要说与应用有关的应用数学以及随计算机出现发展起来的计算数学和计算机科学了。
大数学家韦尔(H·Weyl)在希尔伯特去世时的悼词中曾说:“希尔伯特就象穿杂色衣服的风笛手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跟着他跳进了数学的深河。”对有志的人们来说，这23个问题正是这样一种甜蜜的笛声，我们至今似乎仍能听到它的召唤。值得高兴的是，中国数学家在第8和第16问题上曾经作出一些贡献。
标签：猜想,数学
