首先要保证函数y英液=f(x)在包含a点的开区间I上严格单调且连续叫编政哪着清回,如果这函数在a点可导并且导数f'(a)≠0,那么反函数x=g(y)在点b=f(a)可导,且g'(b)=1/f'(a)=1/f'(g(b)).
证明:在所给条件下笔真吧,函数x=g(y)也严格单调且连续.于是,当y≠b,y→b时,有g(y)≠g(b),g(y)→倍府g(b).因而:
360问答lim[(g(y)→g(b))/(y-b)]=lim1/[(y-b)/(g(y)→g(b))]=lim1/[(f(x)-f(a))/(x-a)]=1/f'(a)=1/f'(g(b)).
举例法:
f(x)=2x+3,f(x)的反函数为g(x)
y=2x+3
y-3=2x
2x=y-危油担的则3
x=(y-3)/2=1/2y-3/2
y=1/2x-3/2
g(x)=1/2x-3/2。
f'=2,g'=1/2
g'=1/f'
这个推论是否能推广到一般,即对于任意存在反函数的函数f(x)的导数为f(x)的导函数的倒数,
g'=1/f'。
y=f(x)利。的反函数y=g(x)。
令f(x)在x=x0上右一点P(x0否似兴最单适一换传故代,y0),y0=f(x0),则P关于y=x的对称点P'(x0',y0')。x0'=y0,y0'=x0,P'(y0,x0),在反函数y=g(x)上,y0=g(x0),
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