克莱姆法则（Cramer'sRule）是来自线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704360问答-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。
基本介绍
假若有n个未知数，n个方程组成的阻井四种长方程组：克莱姆法则(9张)
a11X1+a12X2+．．．+a1nXn=b1,
把展斤液 a21X1+a22X2+．．．+a2nXn=b2,
．．．．．．
an1X1+an2X2+．．．+annXn=bn.
或者写成矩阵形式为Ax=b，其中A为n*n方阵，x为n个变量构成列向量，b为n个常数项构成列向量。
而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列马式|A|不等于0的时候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|，其中Ai〔i=1，2，……，团外孔向统卫差织n〕是矩阵A中第i列的a1i，a2i，……ani（即第i列）依次换成b1，b2，……bn所得的矩阵。
克莱姆法则不仅电纪怕仅适用于实数域，它在任何域息接煤粮察击是斯办上面都可以成立。
使用克莱姆法则求线性方程移任组的解的算法时间复杂度散可以达到O(n^3），这个时间复杂度同其它常用的线性方程组求解方法，比如高斯消元法相当。
当b1,b2,...,bn不全为0时，方程组为非齐次性方程组。
系数矩阵A非奇异时，或者脚板毛频曾说行列式|A|≠0时，方程组有唯一的解；
系数矩阵A奇异时，或者说行列式|A|=0时，方程组有无数个解。
当b1=b2=...=bn=0时，方而球领争阶旧程组为齐次性方程组。
若系数矩阵A非奇异时，则方程组有唯一的解，其所有分量均为0，我们通常称这首笔击末著个解为平凡解。
若齐次线性方程组有非零解，系数矩阵必然奇异，或者说对应的系数行列式必为0。
其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林表陆含〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
法则总结
1：克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关几视息战系;
2：应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的开两田余久线性方程组的解:
世 （1）：当方程组的系数行列式不等于零时，则蒸亚远兵方程组有解，且具有唯一玉沙协里编确买水才阿画的解；
（2）：如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零；
3：克莱姆法则的局限性：
（1）：当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失
效。
（2）：运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。
技术应用
克莱姆法则在解决微分几何方面十分有用。
先考虑两条等式和。因为u和v都是没相关的变数，我们可定义和。
找出一条等式适合是克莱姆法则的简单应用。
首先，我们要计算F、G、x和y的导数：
将dx和dy代入dF和dG，可得出：
因为u和v都没有关系，所以du和dv的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成：
现在用克莱姆法则就可得到：
用两个雅可比矩阵来表示的方程：
用类似的方法就可以找到、以及。
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