问题补充说明：为什么等于-cos角B... 为什么等于-cos角B 展开
向量数量积的几何意义是：一个向量在另一个向量上的投影定义两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积两向量α与β的数量积α·β=|α|*|β|c升许乱表osθ其中|α||β|是两向量的模θ是两向量之间的夹角(0≤θ数往≤π)若有坐标α(x1,y1,z1)β(x2,y2,z2)那么α·β=x1x2+y料1y2+z1z2|α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt容好(x2^2+y2精苦六话从^2+z2^2)把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影因此用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积、点积。)即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b"·不可省略若用×则成了向量积性质向量数量积的基本性质设ab都是非零向量θ是a与b的夹角则①cosθ=a·b/|a||b|②当a与b同向时a·b=|a气供弱剧门临愿||b|当a与b反向时a·b=-|a||b|③|a·b|≤|a||b|④a⊥b=a·b=0适用在平面内的两直线折叠向量数量积运算规律1.交换律律α·β=β·α2.分配律(α+β)·γ=α·γ+训兵β·γ3.若λ为数(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)若λμ为数(λα)·(μ房宁β)=λμ(α·β)4.α·α=|α|^2此外α·α=0=α=0向量的数量积不满足消去律即一般情况下α·β=α·γα≠0≠β的快王省个没反越=γ向量的数量积不满足结合律即一般α·β)·γ≠α·β·γ相互垂直的两向量数量积为0折叠平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a=x1别绝价y1b=x2y2则有a·b=x1x2+y1y2即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和一般地设两个非零向量a=x1,y1,b=(x2,y2)根据向量的数量积的定义它们的夹角q可由cosq=(a·b)/(|a|·|b|)=(变谁次打额黑额核神长左x1x2+y1y2)/(sqr右府章收史歌侵缩副核精(x1^2+y1^2)座老升套口相带笔养永提·sqr(x2^2+y2^2))求得由两个向量垂直的充要条件为a·b=0,可得两个向量垂圆总输普够肥谈富直的充要条件为x1x2+y1y2=0平面向量的分解定理平面向量的分解定理如果e1e2是同一平面内临走的两个不平行向量那么对于这一意项知局赵严数盐今平面的任意向量a有且只有一对实数n1n2使a=n1·e1+n2·e2(粗字为向量)在高中平面几何的应用平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题例如勾股定理菱形的对角线相互垂直矩形的对角线相等等如证明勾股定理Rt△ABC中∠C=90°则|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2因AB=CB-CA所以AB·AB=CB-CA·CB-CA=CB·CB-2CA·CB+CA·CA;由∠C=90°有CA⊥CB于是CA·CB=0所以|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2菱形对角线相互垂直菱形ABCD中,点O为对角线ACBD的交点求证AC⊥BD设|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a因AC=AB+BC;BD=BC+CD所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(cosπ-α+cosπ+cos0+cosα又因为cosα=-cosπ-αcosπ=-1cos0=1所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α=0AC⊥BD
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