证法一： 在△ABR中，由正弦定理，得AR=csinβ/360问答sin(α+β)。 不失一般性，△ABC外接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3γ，所以AR= （sin3原州采结风γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin^2γ)]/[1/2(√3cos反既采鲜测速愿府γ-sinγ)]= 2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）. 同理,AQ=4sinβsinγsin(60°+β) 在△ARQ中,由余弦定理,得RQ^2=16sin^2βsin^2γ[si妈翻意算第怕n^2(60+γ)+sin晶执片项^2(60°+β)-2sin(60°+γ)*sin（60°+β）cosα]=16sin^2αsin^2βsin^2γ. 这是转难日农旧丰以一个关于α，β，γ的对称式，同理可得PQ^2，PR^2有相同的对称性，故府让员植汽矿厚著它划突PQ=RQ=PR,所以△PQR是正三角形。
证法二： ∵AE：AC=sinγ：sin（a+γ）， AF：AB=sinβ：sin（a+β）， AB：AC=sin3γ：sin3β， ∴AE:AF=（ACsin（a+γ）/sinγ）：（ABsin（a+β）/sinβ）， 而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+块收长资棉编土他苦提γ)sin(60°除书时-γ)）：（sinβsin(60°+β)sin(60°-策件放料南β)）， ∴AE：AF=sin(60°+γ)：sin(60°+β)， ∴在△AEF中，∠AEF=60°+种模应难γ， 同理∠C扩校宁容围ED=60°+a， ∴∠DEF=60°， ∴△DEF为正三角形。
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